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Typ-I-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den ersten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Typ-I-Von-Neumann-Algebren nennt man auch diskret.

• Definitionen

• Beispiele

• Eigenschaften

• Siehe auch

• Einzelnachweise

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} ist selbstadjungiertes idempotentes Element e {\displaystyle e} , das heißt, es gilt e = e ∗ ∗ = e 2 {\displaystyle e=e^{*}=e^{2}} . Eine solche Projektion heißt abelsch, falls die Algebra e A e ⊂ ⊂ A {\displaystyle eAe\subset A} kommutativ ist. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ I (lies: Typ eins), falls sie eine abelsche Projektion e {\displaystyle e} besitzt, so dass das Einselement die kleinste Projektion aus dem Zentrum der Algebra ist, deren Produkt mit e {\displaystyle e} gleich e {\displaystyle e} ist. Sie heißt genauer vom Typ In, wenn das Einselement Summe von n {\displaystyle n} paarweise orthogonalen, äquivalenten abelschen Projektionen ist. Dabei heißen zwei Projektionen e 1 , e 2 {\displaystyle e_{1},e_{2}} orthogonal, falls e 1 e 2 = 0 {\displaystyle e_{1}e_{2}=0} , und sie heißen äquivalent, falls es ein Element v ∈ ∈ A {\displaystyle v\in A} gibt mit e 1 = v ∗ ∗ v , e 2 = v v ∗ ∗ {\displaystyle e_{1}=v^{*}v,e_{2}=vv^{*}} . Die Summe ist bei unendlichem n {\displaystyle n} im Sinne der starken Operatortopologie zu verstehen.cite-ref-1[1]

• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind vom Typ I, denn in diesem Fall ist das Einselement selbst eine abelsche Projektion.

• Die Algebra A = L ( H ) {\displaystyle A=L(H)} der stetigen linearen Operatoren über einem Hilbertraum H {\displaystyle H} ist vom Typ In, wobei n {\displaystyle n} die Dimension des Hilbertraums ist. Ist nämlich ( ξ ξ i ) i ∈ ∈ I {\displaystyle (\xi _{i})_{i\in I}} eine Orthogonalbasis und ist e i {\displaystyle e_{i}} die Projektion auf den eindimensionalen Unterraum C ξ ξ i {\displaystyle \mathbb {C} \xi _{i}} , so sind die e i {\displaystyle e_{i}} abelsch, untereinander äquivalent und es ist ∑ ∑ i = I e i = 1 {\displaystyle \textstyle \sum _{i=I}e_{i}=1} .

Wir betrachten hier nur Von-Neumann-Algebren auf einem separablen Hilbertraum. Dann hat man für Typ-In-Algebren nur die Fälle n = 1 , 2 , 3 , … … , ∞ ∞ {\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,\infty } zu betrachten; anderenfalls müsste man für den unendlichen Fall noch nach Mächtigkeiten unterscheiden.

Jede Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} vom Typ I zerfällt in eine direkte Summe

A = A p 1 ⊕ ⊕ A p 2 ⊕ ⊕ A p 3 ⊕ ⊕ … … ⊕ ⊕ A p ∞ ∞ {\displaystyle A=Ap_{1}\oplus Ap_{2}\oplus Ap_{3}\oplus \ldots \oplus Ap_{\infty }} ,

wobei

• jedes p n {\displaystyle p_{n}} ist eine Projektion aus dem Zentrum von A {\displaystyle A} (möglicherweise 0)

• die p n {\displaystyle p_{n}} sind paarweise orthogonal

• 1 = p ∞ ∞ + p 1 + p 2 + p 3 + … … {\displaystyle 1=p_{\infty }+p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots } im Sinne der starken Operatortopologie.

• A p n = p n A p n {\displaystyle Ap_{n}=p_{n}Ap_{n}} ist eine Von-Neumann-Algebra vom Typ In auf dem Hilbertraum p n ( H ) {\displaystyle p_{n}(H)} , falls p n ≠ 0 {\displaystyle p_{n}\not =0} .

Jede Von-Neumann-Algebra A {\displaystyle A} vom Typ In ist isomorph zum Tensorprodukt L ( H ) ⊗ ⊗ ¯ ¯ c e n ( A ) {\displaystyle L(H){\overline {\otimes }}\,\mathrm {cen} (A)} , wobei H {\displaystyle H} ein n-dimensionaler Hilbertraum und c e n ( A ) {\displaystyle \mathrm {cen} (A)} das Zentrum von A {\displaystyle A} ist.cite-ref-2[2]

Da die Zentren abelsche Von-Neumann-Algebren sind und diese bekannt sind, ist damit die Struktur der Typ-I-Von-Neumann-Algebren aufgedeckt; es handelt sich um direkte Summen von Tensorprodukten von Algebren L ( H ) {\displaystyle L(H)} mit abelschen Von-Neumann-Algebren. Daraus ergibt sich leicht, dass jede endlich-dimensionale Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist und isomorph zu einer endlichen direkten Summe von Matrixalgebren L ( C n ) {\displaystyle L(\mathbb {C} ^{n})} ist.cite-ref-3[3]

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann vom Typ I, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra mit abelscher Kommutante ist.cite-ref-4[4]

• Typ-I-C*-Algebra

• Typ-II-Von-Neumann-Algebra

• Typ-III-Von-Neumann-Algebra

cite-note-11. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Kapitel 5.5: Von Neumann Algebras of Type I

cite-note-22. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.5

cite-note-33. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.6

cite-note-44. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 5.5.11